Hallo. Nama saya Sofah Listianti, ini adalah blog pertama saya.
Disini saya akan menulis tentang polinomial, teorema sisa, dan teorema faktor.



 POLINOMIAL
1. Pengertian Polinomial

Polinomial adalah suku banyak yang memiliki variabel, pangkat, koefisien, selisih dan jumlah, dan pangkat berniali positif.
  • Contoh Polinomial
  1. 2x² + 2
  2. 3x³ + 2x - 1 
  3. 2x⁴ + 4x - 5
  4. 5x² + 6x + 2
  5. 4x⁵ - 2x - 1
  • Contoh yang Bukan Polinomial
  1. 4x½
  2. 3x⅚ + 2x⅔ - 1 
  3. 5x½ + 3 
  4. 6x½ + 2x¼ - 4 
  5. 2x¼ + 2x¼ + 5
2. Nilai Polinomial   

Diketahui f(x) = x⁶ - 5x⁵ + 2x³ + 3x² - 2 ; x = 1 
  • Metode Subtitusi
F(x) = x⁶ - 5x⁵ + 2x³ + 3x² - 2 
         =  (1)⁶ - 5(1)⁵ + 2(1)³ + 3(1)² - 2 
         = 1 + 5 + 2 + 3 - 2
         = 5
  • Teori Horner
  1. Buat tabel horner
  2. Masukan nilai horner berurutan
  3. Operasi horner
Silahkan perbesar jika tidak jelas.
  • Operasi Polinomial
Contoh :

Diketahui 
f(x) = 2x⁵ + 2x³ + 4x - 4
g(x) = 3x⁵ + 4x² - 2x + 3
Tentukan f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x).g(x)
1. Operasi penjumlahan polinomial
f(x) + g(x) = (2x⁵ + 2x³ + 4x - 4 ) + (3x⁵ + 4x² - 2x + 3)
                  = 2x⁵ + 3x⁵ + 2x³ + 4x² + 4x - 2x + 3 - 4
                  = 5x⁵ + 2x³ + 4x² + 2x - 1 
2. Operasi pengurangan polinomial 
f(x) - g(x) = (2x⁵ + 2x³ + 4x - 4 ) - (3x⁵ + 4x² - 2x + 3)
                  = 2x⁵ + 2x³ + 4x - 4 - 3x⁵ - 4x² + 2x - 3
                  = 2x⁵ - 3x⁵ + 2x³ - 4x² + 4x + 2x -4 - 3 
                  = -x⁵ + 2x³ - 4x² + 6x² - 7
3. Operasi perkalian polinomial
f(x).g(x) = (2x⁵ + 2x³ + 4x - 4 ).(3x⁵ + 4x² - 2x + 3)
              = 6x¹⁰ + 8x⁷ - 4x⁶ + 6x⁵ + 6x⁸ + 8x⁵ - 4x⁴ + 5x³ + 12x⁶ + 16x³ - 8x² + 12x - 12x⁵ - 16x² - 8x -12 
              = 6x¹⁰ + 6x⁸ + 8x⁷ - 4x⁶ + 12x⁶ + 6x⁵ + 8x⁵ - 12x⁵ - 4x⁴ + 5x³ + 16x³ - 8x² - 16x² + 12x - 8x -12 
              = 6x¹⁰ + 6x⁸ + 8x⁷ + 8x⁶ + 2x⁵ - 4x⁴ + 21x³ - 24x² + 4x - 12


3. Algoritma Polinomial
f(x) = p(x) . h(x) + s(x)
Ket : 
         f(x) = Fungsi polinomial 
         p(x) = Pembagi polinomial
         h(x) = Hasil bagi polinomial
         s(x) = Sisa bagi polinomial 
Contoh Soal 
x⁴ + 2x² + 4x² + x + 4 ; x - 2  
  • Cara bersusun

Silahkan perbesar jika tidak jelas.
Algoritma Pembagian :
x⁴ + 2x³ + 4x² + x + 4 = (x-2).(x³ + 4x² + 12x + 25) + 54 
 Pembuktian 
 (x-2).(x³ + 4x² + 12x + 25) + 54
= x⁴ + 4x³ + 12x² + 25x - 2x³ - 8x² - 24x - 50 + 54
= x⁴ + 4x³ - 2x³ + 12x² - 8x² + 25x - 24x -50 + 54
= x⁴ + 2x³ + 4x² + x + 4 ⇨ TERBUKTI  
  • Teorema horner  

 Silahkan perbesar jika tidak jelas.

Catatan : Untuk soal yang yang seperti ini 3x⁴ + 2x³ - x + 2 ; x² + 2x - 3 hanya dapat menggunakan cara bersusun saja.


Teorema Sisa

Teorema sisa 1

"Jika suku banyak f(x)  dibagi dengan (x-k)  maka sisanya adalah f(k)."

Contoh :
f(x) = 8x⁴ + 6x³ + 4x² - 6x + 2
                     x + 3             

  • Metode horner

Silahkan perbesar jika tidak jelas.

  • Cara bersusun

Silahkan perbesar jika tidak jelas.

  • Teorema Sisa 1 (subtitusi)

f(x) = 8x⁴ + 6x³ + 4x² - 6x + 2
f(k) = 8(k)⁴ + 6(k)³ + 4(k)² -6k + 2
f(-3) = 8(-3)⁴ + 6(-3)³ + 4(-3)² - 6(-3) + 2
f(-3) = 8(81) + 6(-27) + 4(9) - 18 + 2
f (-3) = 648 - 162 + 36 + 20
         = 542 ⇨ Terbukti

Teorema Sisa 2

"Jika suatu suku banyak dibagi ax - b maka akan bersisa f(b/a)."

Contoh :
              x³ + x² - 5x + 3
                      2x - 1
a = 2

b= 1

f(a/b) = f(½)

f(x) = x³ + 2x² - 5x + 3
f(a/b) = (a/b)³ + 2(a/b)² - 5(a/b) + 3
f(½) = (½)³ + 2(½)² - 5(½) + 3
f(½) = ⅛ + ²/₄ - ⁵/₂ + 3
f(½) = 1 + 4 - 20 + 24
                     8
f(½) = ⁹/₈
Pembuktian 
  • Metode horner
Silahkan perbesar jika tidak jelas.
  • Cara bersusun 


Silahkan perbesar jika tidak jelas.

Teorema Sisa 3 

"Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x-a) (x-b) maka bersisa px + q, dimana f(a) = pa +q dan f(b) = pb + q."
                                 
Contoh soal :
                     x³ - 2x² + x - 5    
                         x² - 2x - 3
  • Memfaktorkan
x² - 2x - 3
( x - 3) (x + 1)
   x-a     x -b
a = 3    b = -1

f(x) = x³ -2x² + x - 5
f(a) = a³ - 2a² + a - 5
f(3) = (3)³ - 2(3)² + 3 - 5
f(3) = 27 - 18 + 3 - 5
f(3) = 7

f(b) = b³ - 2b² + b - 5
f(-1) = (-1)³ - (-1)² + (-1) - 5
f(-1) = -1 - 2 - 1 - 5
f(-1) = -9

f(a) = p(a) + q
f(3) = p(3) + q
f(3) = 3p + q
  7   = 3p + q
3p + q = 7 .......... (Persamaan 1)

f(b) = p(b) + q
f(-1) = p(-1) + q
f(-1) = -p + q
  -9    = -p + q
-p + q = -9 ............. (Persamaan 2)

  • Metode eliminasi
3p + q = 7
-p + q = -9   -
4p       = 16
p         = 4
  • Metode subsitusi
3p + q   = 7
3(4) + q = 7
12 + q    = 7
q = 7 - 12
q = -5
  • Teorema sisa
Px + q
4x - 5

Pembuktian
  • Cara Bersusun
Silahkan perbesar jika tidak jelas.

TEOREMA FAKTOR 

 "Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai nol maka itulah faktornya."
            V. f(x) = p(x).h(x) + s(x).  ∋ s(x) = 0
                                                       
Contoh :                         
 x² - 2x - 3
(x - 3 ) (x + 1)
x = 3     x = -1

Pembagian
           (x² - 2x - 3 ) (x + 3 ) = x³ + x² - 9x - 9
  • Teori horner 
                                               ↳ sederhanakan lagi menjadi x



Hp = { -3, -1, 3 }
Jadi f(x) = p(x).h(x) + s(x)
       x³ + x² - 9x - 9 = (x-3)(x+3)(x+1)
                                                             


Demikian yang dapat saya tulis, maaf jika masih banyak kekurangan dan kesalahan.
Semoga blog ini dapat bermanfaat. Terima kasih.


Sofah Listianti
XI A 6
SMA NEGERI 1 CIKALONG WATAN




"Apabila kamu menganggap matematika itu rumit, maka kamu tidak sadar bahwa menjalani kehidupan yang sesungguhnya jauh lebih rumit."

Komentar

Posting Komentar